Définitions

Modus Ponens

En calcul des propositions, le modus ponens (ou modus ponendo ponens  ou détachement) est une règle d'inférence, qui peut être résumé de la manière suivante: " P implique que Q et P soient déclarés vrais, donc Q doit être vrai."

Modus ponens est étroitement lié à une autre forme d’argument valable, le modus tollens. Les deux ont des formes apparemment similaires, mais non valides, telles que l’affirmation du conséquent, le refus de l’antécédent et la preuve de l’absence. Le dilemme constructif est la version disjonctive de modus ponens. Le syllogisme hypothétique est étroitement lié au modus ponens et est parfois considéré comme un "double modus ponens ".

L'histoire du modus ponens remonte à l’Antiquité.  Le premier à décrire explicitement l'argument sous la forme modus ponens était The ophrastus.

Dans la logique propositionnelle, Modus Tollens (/ moʊdəs tɒlɛnz / ; MT ; aussi modus tollendo Tollens (latin pour "mode qui en niant nie")  ou refusant la conséquente)  est un valide sous forme d'argument et une règle d'inférence. Il est une application de la vérité générale que si une déclaration est vraie, alors il en est de même de sa contrapositive.

La règle d'inférence modus tollens affirme que l’inf e rence de P implique Q à la négation de Q implique la négation de P est valide.

La règle du modus tollens peut être formellement formulée comme suit:

P → Q, ¬ Q ∴ ¬ P {\ displaystyle {\ frac {P \ à Q, \ neg Q} {\ donc \ neg P}}}  

P → Q {\ style d'affichage P \ à Q}  

correspond à la déclaration

"P implique Q". ¬ Q {\ displaystyle \ neg Q}  

signifie

"ce n'est pas le cas que Q" (ou en bref "pas Q").

Puis, chaque fois que

" P → Q {\ displaystyle P \ à Q}  " et " ¬ Q {\ displaystyle \ neg Q}  " 

apparaissent chacun comme une ligne de preuve,

puis

" ¬ P {\ displaystyle \ neg P}  "

peut être valablement placé sur une ligne suivante.

L'histoire de la règle d'inférence modus tollens remonte à l'Antiquité.

Modus tollens est étroitement lié au modus ponens. Il existe deux formes d'arguments similaires, mais non valides : l’affirmation de la conséquence et la négation de l'antécédent. Voir aussi contraposition et preuve par contrapositive.

Théophraste fut le premier à décrire explicitement l’argument sous la forme modus tollens.

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